Так об этом и разговор был, что сначала нужно прописать на новом месте, которое ещё приобрести нужно
Это не обязательно должно быть новое место. Прописать можно куда угодно. Я не думаю, что при процедуре продажи квартиры родители, в течение всего периода сделки, будут без прописки. Пока у нас прописку не отменяли, а без бумажки известно кто есть кто. Прописка у бабушки с дедушкой тоже подойдет.